[ Pobierz całość w formacie PDF ]
a) funkcja f � g jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
/ /
( f � g)/ (x0 ) = f (x0 ) � g (x0 ) ,
b) funkcja f �" g jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
/ /
( f �" g)/ (x0 ) = f (x0 ) �" g(x0 ) + f (x0 ) �" g (x0 ) ,
f
c) przy założeniu, że g(x0) `" 0 funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
g
/
/ /
�# �# f (x0 ) �" g(x0 ) - f (x0 ) �" g (x0 )
f
�# �# (x0 ) = .
�# �# 2
g g (x0 )
�# �#
Uwaga. Powyższe wzory są prawdziwe także dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych (stosujemy
wtedy reguły działań z nieskończonością). Ponadto analogiczne wzory do podanych w punktach a) i b) są prawdziwe również
dla dowolnej liczby odpowiednio składników i czynników.
Tw. 4.3.2 (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli
1. funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0,
2. funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f(x0),
to funkcja złożona jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
g o f
/
/ /
(g o f ) (x0 ) = g ( f (x0 ))f (x0 ) .
Uwaga. Prawdziwy jest także analogiczny wzór dla dowolnej liczby składanych funkcji oraz dla pochodnych jednostronnych
funkcji złożonej.
Tw. 4.3.3 (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech
1. funkcja f będzie ciągła na przedziale (a,b),
2. funkcja f będzie malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b),
/
3. .
f (x0 ) `" 0, x0 "(a,b)
-1
Wtedy funkcja odwrotna jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz
f
1
-1
( f )/ (y0 ) = .
/
f (x0 )
Uwaga. Wzór ten jest prawdziwy także dla pochodnych jednostronnych właściwych i niewłaściwych.
Fakt 4.3.4 (pochodna funkcji elementarnej)
Pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi.
4.4 R�%7łNICZKA FUNKCJI
Def. 4.4.1 (różniczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0. Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej
określoną wzorem
�x = x - x0
def
/
df (�x) = f (x0 )�x .
Fakt 4.4.2 (zastosowanie różniczki do obliczania przyrostu funkcji)
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x0. Wtedy
/
f (x0 + �x) H" f (x0 ) + f (x0 )�x .
Fakt 4.4.3 (zastosowanie różniczki do szacowania błędów pomiarów)
Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością y = f(x). Ponadto niech �x oznacza błąd bezwzględny pomiaru
wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny �y obliczanej wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym
/
� H" f (x0 ) � ,
y x
gdzie x0 jest wynikiem pomiaru wielkości x.
Tw. 4.4.4 (o wielkości błędu w rachunkach przybliżonych)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to
�f - df
lim = 0 .
�x�!0
�x
Obrazowo, błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji �f jej różniczką df, dąży szybciej do zera niż �x.
4.5 POCHODNE WY%7łSZYCH RZD�W
Def. 4.5.1 (pochodna n-tego rzędu funkcji)
Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie:
def
/
(n) (n-1)
f (x0 ) =[f ] (x0 ) dla n e" 2 ,
def def
1 / (0)
gdzie f (x0 ) = f (x0 ) . Ponadto przyjmujemy f (x0 ) = f (x0 ) .
(n)
Jeżeli istnieje pochodna właściwa , to mówimy, że funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w punkcie x0. Funkcję
f (x0 )
(n)
określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe , nazywamy pochodną n-tego rzędu
f (x)
(2) (3) (4)
(n) // /// iv
funkcji f na tym przedziale i oznaczamy przez . Piszemy także f , f , f zamiast odpowiednio f , f , f . W
f
�" �"�"
/ //
fizyce stosuje się oznaczenia zamiast odpowiednio .
f , f f , f
(n-1)
Uwaga. Dla istnienia n-tej pochodnej funkcji w punkcie x0 konieczne jest istnienie pochodnej (i co za tym idzie także
f
wszystkich poprzednich pochodnych) na pewnym otoczeniu punktu x0. Do oznaczania pochodnej n-tego rzędu funkcji f w
n n
d f d f
punkcie x0 stosuje się także symbole , Dn f (x0 ) , a do oznaczenia tej przedziale symbole , .
Dn f
(x0 )
dxn dxn
Tw. 4.5.2 (wzór Leibniza)
Niech funkcje f i g mają pochodne właściwe n-tego rzędu w punkcie x0. Wtedy
n
n
(n)
(n-k ) (k )
( f �" g) (x0 ) = �# �# f (x0 ) �" g (x0 ) .
"�# �#
�#k �#
k =0
�# �#
Fakt 4.5.3 (pochodne wyższych rzędów ważniejszych funkcji)
Funkcja n-ta pochodna Zakres zmienności
x " R
ex ex
sin x x " R
n�
�#
sin�# x +
�# �#
2
�# �#
cos x
x " R
n�
�#
cos�# x +
�# �#
2
�# �#
m! n d" m, x " R
xm
xm-n
(m - n)!
1 x `" 0
(-1)n n!
x
xn+1
ln x x > 0
(-1)n-1(n -1)!
xn
Def. 4.5.4 (pochodna funkcji wektorowej)
def
r
r
Niech r(t) =(x(t), y(t))
, gdzie t " (�,�), będzie funkcją wektorową. Pochodną funkcji r w punkcie t określamy wzorem:
def
r
/ /
r (t) =(x/ (t), y (t)).
def
r
, a także pochodne wyższych rzędów takich
Podobnie określamy pochodną funkcji wektorowej r(t) = (x(t), y(t), z(t))
funkcji.
Fakt 4.5.5 (interpretacja fizyczna pochodnej funkcji wektorowej)
r
[ Pobierz całość w formacie PDF ]