[ Pobierz całość w formacie PDF ]
stopnia, to det(A · B) = det(A) · det(B).
Twierdzenie 3.15 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem i-tego wiersza).
a11 a12 . . . a1n
. . .
... .
. .
. . .
ai1 ai2 . . . ain = -1)i+1 · ai1 det(Ai1) + . . . + (-1)i+n · ain det(Ain).
. . .
... .
. .
. . .
an1 an2 . . . ann
Twierdzenie 3.16 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem j-tej kolumny).
a11 . . . a1j . . . a1n
a21 . . . a2j . . . a2n
. . .
... . ... . = (-1)1+j · a1j det(A1j) + . . . + (-1)n+j · anj det(Anj).
.
. . .
an1 . . . anj . . . ann
W praktyce najszybszym sposobem obliczania wyznacznika jest stosowanie operacji elemen-
tarnych i rozwiniecia Laplace a wzgledem takiego wiersza (kolumny), w którym wystepuje co
najwyżej jeden niezerowy wyraz. Pokażemy to w nastepnym przykladzie.
Przyklad 3.17.
“!
1 1 3 4
“!
1 3 4
1
2 8
2 0 0 8
w4-4·w1
2 0 0 8
= = (-1)1+2 · 1 · = (-1) · (-1)3+2 ·
3 0 2
3 0 0 2
3 0 0 2
0 -5 -11
4 4 7 5
0 0 -5 -11
4
2 8
(-5)· = (-5)·(2·2-3·8) = 100. Strzalkami “! oznaczyliÅ›my kolumne, wzgledem której
3 2
zastosowano rozwiniecie Laplace a.
Przyklad 3.18. Stosujac rozwiniecie Laplace a wzgledem trzeciego wiersza obliczymy wy-
znacznik:
2 -3 4 1
4 -2 3 2
.
a b c d
3 -1 4 3
Mamy, że
2 -3 4 1
-3 4 1 2 4 1 2 -3 1
4 -2 3 2
W = = (-1)3+1a -2 3 2 +(-1)3+2b 4 3 2 +(-1)3+3c 4 -2 2 +
a b c d
-1 4 3 3 4 3 3 -1 3
3 -1 4 3
2 -3 4
(-1)3+4d 4 -2 3 .
3 -1 4
Cztery wyznaczniki stopnia trzy obliczymy stosujac regule Sarrusa:
-3 4 1 -3 4
=
-2 3 2 -2 3 -27 - 8 - 8 - (-3 - 24 - 24) = -43 + 51 = 8,
-1 4 3 -1 4
2 4 1 2 4
4 3 2 4 3 = 18 + 24 + 16 - (9 + 16 + 48) = 58 - 73 = -15,
3 4 3 3 4
2 -3 1 2 -3
4 -2 2 4 -2 = -12 - 18 - 4 - (-6 - 4 - 36) = -34 + 46 = 12,
3 -1 3 3 -1
2 -3 4 2 -3
4 -2 3 4 -2 = -16 - 27 - 16 - (-24 - 6 - 48) = -59 + 78 = 19.
3 -1 4 3 -1
Stad W = 8a + 15b + 12c - 19d.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]